Les très grands nombres

J’étais tout fier quand j’ai appris à compter jusqu’à 100. Ayant grandi en France, c’était difficile de naviguer à travers les soixante-douze ou autres quatre-vingt onze.

(Pourquoi a-t-on choisi des noms aussi atroces pour ces nombres ?)

Mais tout à coup, à partir de 100, tout devenait plus facile. J’ai rapidement ensuite appris à compter jusqu’à mille, puis même jusqu’à un million, puis un milliard. Un peu plus tard j’ai compris comment nommer les nombres au-delà du milliard.

Au delà du milliard

Au delà du milliard, on trouve un billion, qui était aussi égal à mille milliards, ou un million de millions. Puis, un billard, qui est mille billion.

Puis un trillion qui est un million de millions de millions. Puis un trillard qui est mille trillions.

Puis un quadrillion qui est un million de millions de millions de millions. Puis un quadrillard qui est mille quadrillons.

Puis un quintillon qui est un millions de millions de millions de millions de millions. Puis un quintillard qui est mille quintillons.

Puis un sextillons qui est un millions de millions de millions de millions de millions de millions. Puis un sextillard qui est mille sextillons…

Et ainsi de suite. Vous avez sans doute compris comment ça marche. Et, en principe, je pourrais ainsi compter jusqu’à des septillons ou des octillards. Mais, en fait, en pratique, même un ordinateur de peut pas compter jusqu’à des nombres aussi géants !

En effet, on peut se demander combien de temps il faut pour compter jusqu’à un milliard. À un rythme d’un nombre par secondes (ce qui est facile au début, mais devient tout de suite plus difficile quand on doit lire 1 817 381), il faudrait plus de 31 ans pour y arriver !

Les enfants, ne faites pas ça. Profitez de votre jeunesse !

Un ordinateur, lui, est capable de compter un milliard de fois plus vite, ce qui veut dire qu’au bout de 31 ans, il en serait à un milliard de milliard, qui fait un trillon. Pas mal, l’ordinateur. Mais un trillon, ce n’est encore rien comparé à un quadrillon.

Des nombres plus astronomiques que l’astronomie

By U.S. Air Force photo by Charles Haymond [Public domain], via Wikimedia Commons
À quoi peuvent donc servir des nombres aussi astronomiques qu’un quadrillon ? Et bien, à l’astronomie, justement. Un quadrillon, c’est à peu près le nombre d’étoile dans l’univers observable. Rien que ça ! Mais c’est aussi à peu près le nombre d’atomes dans un verre d’eau. Ceci devrait vous donner le vertige par rapport à l’immensité des choses qui nous entourent.

Pire encore est le nombre de façons de mélanges. Prenez un jeu de 72 cartes. Et mélangez-les. Mélangez-les bien. Et bien il est quasiment certain que le mélange que vous avez fait a été fait pour la première fois de l’humanité. Que dis-je ! C’est même la première fois que quelqu’un mélange les cartes comme vous l’avez fait dans l’Histoire de l’univers !

En effet, lorsque vous mélangez un jeu de 72 cartes, la carte du dessus peut être n’importe laquelle des 72 cartes. Ça fait donc 72 possibilités pour la première carte. Celle juste en dessous est l’une des cartes restantes du jeu, ce qui laisse 71 possibilités. Puis il restera 70 possibilités, puis 69… et ainsi de suite. Au final, le nombre de mélange possible est égal à 72 x 71 x 70 x … x 1, que l’on note aussi 72!. Le point d’exclamation se lit “factorielle”, donc on dit “septante-deux factorielles” (ou si vous comptez comme des français, vous dites “soixante-douze factorielles”).

Combien vaut 72! ? Vous pouvez taper ça dans votre calculatrice. Ce n’est pas dit que ça marche. Beaucoup de calculatrices n’arrivent pas à calculer 72! car ce nombre est trop grand. Il vaut environ 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, soit dix dix-septilllons. Ce nombre a 103 zéros. C’est absolument monstrueux ! Ce nombre est plus grand que le nombre d’atomes dans l’univers observable. Même si tous les ordinateurs sur terre comptaient depuis le début de l’univers, il n’aurait pas atteint de nombre.

C’est pour ça que je suis sûr que si vous avez bien mélangé votre jeu de 72 cartes, vous avez forcément obtenu un mélange que personne n’avait obtenu avant vous.

Et il y a des nombres encore plus grands que ces nombres. On appelle googol le nombre qui s’écrit un 1 suivi de 100 zéros. On l’écrit aussi 10^100. Mais on peut aller encore plus loin en construisant le googolplex, qui est un nombre avec un nombre plus qu’astronomique de zéros. Le googolplex a un googol de zéros ! Autrement dit, il est tellement grand qu’il n’y a pas assez de place sur tout Internet pour l’écrire. Pire encore, il n’y a pas assez d’atomes dans l’univers pour écrire ce nombre !

Conclusion

Les nombres ultra-méga-super géants sont très déroutants. Il est illusoire de penser les comprendre. Mais ça ne nous empêche pas de jouer avec. Et certains mathématiciens, en particulier, ont joué avec des nombres encore plus grand que ceux que j’ai mentionné là, comme 3 ↑↑↑ 3, le nombre de Graham, TREE(3) ou BusyBeaver(20).

Je vous invite à les découvrir dans la superbe vidéo de MicMaths :

Ou dans ma vidéo :

Lê / Science4All. Retrouvez-moi sur mon site et ma chaîne youtube.

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