La semaine des maths 2023

La semaine des maths 2023 se termine tout juste aujourd’hui : c’était du 8 au 15 mars… Nous te proposons donc un billet en lien avec les maths ! Mais sans calculs, sans maux de tête, juste un petit objet mathématique qui nous a plu et qu’on retrouve même dans la Nature !

Cet objet est le dodécaèdre régulier … Et nous allons te le présenter sous différents angles (tu auras noté le jeu de mot 😉

L’objet mathématique

Le dodécaèdre régulier est un solide qui possède de belles particularités : on parle de polyèdre avec 12 faces identiques qui sont  des pentagones réguliers : des figures à 5 côtés de même longueur !

Parmi ses autres particularités : il possède 20 sommets, et chacun d’eux est commun à 3 faces.
Combien a-t-il d’arêtes ? Une arête est la frontière entre deux faces. Tu peux les compter … mais beaucoup de mathématiciens aiment utiliser des relations simples, des sortes de règles pour deviner une propriété à partir des autres.
Ainsi, la relation d’Euler relie le nombre de faces (notées f), au nombre de sommets (s) et d’arêtes (a) par cette relation :  f + s – a = 2 : on a donc pour le dodécaèdre régulier, 30 arêtes*

* (12 + 20 – a = 2, donc 32 – a = 2, donc a = 30 – si tu ne sais pas encore faire ce genre d’exercice tu apprendras bientôt)

Comment construire un dodécaèdre régulier ?

Comme tu t’en doutes sûrement, il faut commencer par construire un pentagone régulier.
Voici une méthode :
Trace un cercle de rayon O et de rayon quelconque. Repère un point du cercle : [OA] est un rayon de ce cercle.
Trace la médiatrice de [OA] ce qui te permet de repérer le milieu de [OA] : c’est le point I.
Trace maintenant le cercle de centre I et de rayon [OI]
Trace désormais la perpendiculaire à (OA) passant par O, elle coupe le grand cercle en B et H.
La droite (BI) coupe le petit cercle en E et F.

Il te suffit désormais de tracer deux nouveaux cercles :
– un cercle de centre B et de rayon [BE]
– un cercle de centre B et de rayon [BF].

Tu obtiens ceci.
Il te suffit de repérer les points d’intersections de ces deux cercles avec le premier Cercle noir.
Relie alors les points DCJHG : c’est un pentagone régulier.
Sur chacun des côtés de ce premier pentagone, trace 5 nouveaux pentagones de mêmes mesures..
Tu réitères l’opération une seconde fois. Tu as désormais toute l’enveloppe de ton dodécaèdre que tu peux assembler en les plaçant en quinconce.

Tu peux aussi en télécharger directement sur ce site (mais comprendre par soi même, c’est mieux !)

Dans tous les cas, repasse les arêtes avec un plioir pour faciliter la mise en volume.
Voilà, si tu réalises le tout dans un papier carton, tu pourras obtenir un joli dodécaèdre et décorer chacune des faces avec tes propres illustrations !

Le dodécaèdre dans la nature

Sais-tu que le dodécaèdre existe également dans la nature ?
Tu en doutes, n’est-ce pas ? Et si on allait voir du côté du phytoplancton ?

Les coccolithophoridés sont de minuscules algues unicellulaires planctoniques possédant un exosquelette en calcaire. Dans cette famille, on trouve par exemple le Braarudosphaera bigelowii ! Et surprise : son squelette est sous forme de dodécaèdre régulier et chaque face est un pentagone de 10 µm de côté !

On le trouve à proximité des côtes et il joue un rôle majeur dans la fixation du diazote des océans. C’est un bon témoin du climat du passé !

Le dodécaèdre au beau milieu des glaces : les hydrates de méthane ou la glace de méthane
Il s’agit de cristaux formés de molécules d’eau enfermant une molécule de méthane.

On les retrouve dans les sols gelés, au cercle polaire et dans les fonds marins (sédiments). Les molécules d’eau forment une fine couche de glace autour du gaz, telle une cage.
Les cages en question ont une forme de dodécaèdres !

Et dans l’art…

Le dodécaèdre était une figure géométrique très appréciée par Platon, philosophe antique (3000 av JC.). Il décrivait le monde avec 5 éléments, représentés par des formes parfaites. Cette géométrie porte le nom de « géométrie sacrée ».

Léonard de Vinci fasciné aussi par les « belles » figures géométriques a illustré le traité de son ami, mathématicien Luca Pacioli, La divine proportion, en y insérant des polyèdres réguliers dont le dodécaèdre.
Références :
https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371%2Fjournal.pone.0081749
Dessins du pentagone réalisés avec Geogebra

Auteur :
Pascale Baugé du blog Le Monde et Nous